Сторона основания правельной треугольной пирамиды равна 1 см. S боковой поверхности равна...

1) Пусть SABCD - данная пирамида, SO - высота пирамиды, SM - апофема пирамиды. M принадлежит АС.

2) Площадь грани SAC равна 1/3 площади боковой поверхности пирамиды. Тогда площадь грани SAC равна 1 кв. см.

3) Площадь грани SAC равна 1/2*SM*AC, тогда SM=2*SграниSAC/AC=2 см.

4) OM - радиус окружности вписанной в основание, тогда к $r=OM=AC/2sqrt(3)=1/2sqrt(3)$

5) В прямоугольном треугольнике SOM высота SO=корень(SM в квадрате - ОМ в квадрате)=корень из 47/12.

6) Площадь основания S=корень из 3/деленный на 4 и умноженный на квадрат стороны. Т.е. S= $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{47}}{8}.$ куб. см

Ответ $\frac{\sqrt{47}}{8}$ см $^{3}$