По т.Виета:
{x₁ * x₂ = -a-3
{x₁ + x₂ = -(2-a)
(x₁+x₂)² = (a-2)²
x₁²+2x₁*x₂+x₂²=a²-4a+4
x₁²+x₂² +2*(-a-3)=a²-4a+4
x₁²+x₂²=a²-4a+4+2a+6
x₁²+x₂²=a²-2a+10
f(a)=a² -2a+10 - это парабола, ветви которой направлены вверх.
Наименьшее значение функции f(a) - это вершина параболы.
Найдем абсциссу вершины параболы:
a= -(-2)/2=1
При а=1 сумма x₁²+x₂² будет наименьшей.
Ответ: 1.