4) В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH проведены диагонали CH и DG. Докажите, что...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Раз восьмиугольник правильный, значит все его стороны равны и все углы тоже. Угол такого восьмиугольника можно найти по формуле (где n - количество углов):

$\frac{180(n-2)}{n} = \frac{180*6}{8} =135$ градусов, значит, каждый угол восьмиугольника равен 135 градусов. Рассмотрим четырёхугольник АВСН, в нём два угла по 135 градусов и два по х градусов (АВ параллельна СН так как точки А и В равноудалены от точек С и Н, это получилась равнобедренная трапеция). В выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна 360 градусов, таким образом 2х=90 градусов, следовательно, х=45 градусов. Отсюда мы можем найти углы DСН и GНС, которые равны по 135-х=90 градусов. Аналогично углы СDG и DGН равны по 90 градусов, значит, CDGH - прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна стороне восьмиугольника, теперь найдём вторую.
Для этого опустим в трапеции АВСН высоты $AH_{1}$ и $BH_{2}$ . $CH=CH_{2}+H_{1}H_{2}+HH_{1}$ . $H_{1}H_{2}=AB$ , потому что получился прямоугольник, а $CH_{2}=HH_{1}=AHcos45= \frac{ \sqrt{2}AB }{2}$

Таким образом стороны прямоугольника равны АВ и $AB*( \sqrt{2}+1 )$

marinangl_zn (4.6k баллов) 15 Апр, 18