Из одной точки проведены к окружности две касательные,длина каждой из которых равна 156...

Question

Из одной точки проведены к окружности две касательные,длина каждой из которых равна 156 см. Найти радиус окружности,если расстояние между точками касания равно 120 см

Answer 1

Треугольник АВС, О - центр, ОВ=ОС=радиус, АВ=АС=156, ВС=120

cos А = (АВ в квадрате+АС в квадрате - ВС в квадрате) / 2 х АС хАВ

cos А = (24336+24336 - 14400)/ 2 х 156 х 156 =0,7041, что соответствует углу 45 

Угол В=УглуС = 90, радиусы перпендикулярны точкам касания, угол ВОС = 360-90-90-45=135, треугольник ОВС равнобедренный, ОН - высота, медиана, биссектриса на ВС, угол ОВН=углуОСВ =(180-135)/2=22,5

треугольник ОВН прямоугольный ОВ-гипотенуза = ВН / cos ОВН = 60/0,9240=65

радиус=65

Answer 2

По условию задачи хорда, соединяющая точки касания, равна 120.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугогльник с боковыми сторонами, равными 156 и 156, и основанием 120.

 

Проведем секущую через точку пересечения касательных и центр окружности. Так как вышеупомянутый треугольник равнобедренный, то эта секущая будет являться в нем и высотой (пересекает хорду под прямым углом), и медианой. Она равна "корень квадратный из равности квадратов чисел 156 и 120/2 = 60, вычисляя, получим 144 см.

 

Центральный треугольник также равнобедренный, боковые его стороны равны радиусу окружности (нам их нужно найти), а основание равно хорде, т.е. 120 см, а его половина (в нем наша достроенная секущая также является высотой) - 60 см.

Таким образом, высота центрального треугольника будет равна 25 см. Тогда искомый радиус, равный боковой стороне центрального равнобедренного треугольника, будет иметь длину в "Квадратный корень из суммы квадратов чисел 25 и 60" = 65 см.

 

Ответ: 65 см.