1)Обозначим параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 с нижним основанием АВСД.
Найдем диагонали параллелепипеда А1С и В1Д.
АВСД является параллелограммом, найдем его диагонали АС и ВД, используя теорему косинусов:
АС в квадрате = АД в квадрате + ДС в квадрате - 2АД*ДС*cos 135 = 16 + 18 - 2*4*3корня из 2*cos(180 - 45) = 34 - 24корня из 2*(-cos45) = 34 + 24корня из 2* (корень из2/2) = 58.
Треугольник АА1С - прямоугольный с прямым углом А, По теореме Пифагора
А1С в квадрате = АА1 в квадрате + АС в квадрате = 144 + 58 = 202, тогда А1С = корень из 202 (см)
В параллелограмме АВСД найдем другую диагональ ВД также по теореме косинусов.
Угол ВАД = 180 - 135 = 45град.
В треугольнике АВД по теореме косинусов:
ВД в квадрате = АВ в квадрате + АД в квадрате - 2*АВ*АД *cos 45 = 18 + 16 - 2*3 корня из 2*4*(корень из 2/2) = 34 - 24 = 10
Треугольник ВДВ1 - прямоугольный с прямым углом В1ВД. По теореме Пифагора:
В1Д в квадрате = ВВ1 вквадрате + ВД в квадрате = 144 + 100 = 244, тогда
В1Д = корень из 244 = 2 корня из 61.
Ответ: А1С = корень из 202 см, В1Д = 2 корня из 61 см.
2) Обозначим куб АВСДА1В1С1Д1 с нижним основанием АВСД. Возьмем скрещивающиеся прямые А1В1 и ДС.
Отметим их середины соответственно К - середина А1В1, М - середина ДД1.
Отметим середину Ребра Д1С1 точкой N.
Соединим точки К, N и М, получим треугольник КМN. Т.к. KN перпендикулярно плоскости Д1С1СД, то КN будет перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой NM, значит треуг. КNM - прямоугольный с прямым углом N.
Найдем в нем КN и МN.
Т.к. ребро куба равно 2см, то КN = В1C1 = 2см.
Треугольник МД1N - прямоугольный, где угол Д1- прямой, по теореме пифагора МN в квадрате = Д1N в квадрате + Д1М в квадрате = 1 + 1 = 2, тогда МN = корень из 2.
В треугю КNД по теореме Пифагора найдем искомое расстояние КМ.
КМ в квадрате = КN в квадрате + МN в квадрате = 4 + 2 = 6, тогда КМ = корень из 6 см.
Ответ: КМ = корень из 6 см