Построить график функции с помощью производной y=x^4-5x^2+4

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Поначалу, узнаем область определения функции:

Так эта функция имеет смыл при всех значениях икс, то получаем:
$D(f)=(-\infty,+\infty)$
Проверим на четность:
$f(x)=f(-x)$ - то функция четна.
$f(x)=-f(x)$ - то функция нечетна.
Если ни один из этих определений не работают в нашей функции. То наша функция будет не чётна, не нечётна.
Проверим:
$x^4-5x^2+4= (-x)^4-5(-x)^2+4$
Так как, степень четная, то получим:
$x^4-5x^2+4=x^4-5x^2+4$
Значит наша функция чётна, то есть, симметрична относительно оси игрек.
Найдем теперь производную:
$f'(x)=4x^3-10x$
Теперь найдем критические точки, при которых производная обращается в нуль:
$4x^3-10x=0$
$x(4x^2-10)=0$
$x_1=0$
$4x^2-10=0$
$D= \sqrt{b^2-4ac}= \sqrt{160} = 2 \sqrt{40}=4 \sqrt{10}$
$x_2= \frac{4 \sqrt{10}}{8}= \frac{ \sqrt{10}}{2}$
$x_3=-\frac{ \sqrt{10}}{2}$

Отметим данные точки, на числовой прямой, и определим знак производной на интервалах:
$(-\infty,-\frac{ \sqrt{10}}{2})(-\frac{ \sqrt{10}}{2},0)(0,\frac{ \sqrt{10}}{2})(\frac{ \sqrt{10}}{2},+\infty)$
$(-\infty,-\frac{ \sqrt{10}}{2})= -$
$(-\frac{ \sqrt{10}}{2},0)=+$
$(0,\frac{ \sqrt{10}}{2})=-$
$(\frac{ \sqrt{10}}{2},+\infty)=+$

То есть наглядно, это выглядит так:

- + - +
-------- $-\frac{ \sqrt{10}}{2}$ --------- $0$ --------- $\frac{ \sqrt{10}}{2}$ ---------->

Таким образом, $x=-\frac{ \sqrt{10}}{2}$ точка минимума, x=0 точка максимума, $x=\frac{ \sqrt{10}}{2}$ точка минимума.

$y(-\frac{ \sqrt{10}}{2})=-2,25$
$y(0)=4$
$y(\frac{ \sqrt{10}}{2})=2,25$
Теперь строим график, на основе проделанного исследования (во вложении)

Newtion_zn (46.3k баллов) 15 Апр, 18