В треугольнике ABC угол A равен 60◦, а биссектриса угла A, медиана, проведенная из...

Question

В треугольнике ABC угол A равен 60◦, а биссектриса
угла A, медиана, проведенная из вершины B, и высота, прове-
денная из вершины C, пересекаются в одной точке. Найдите
остальные углы треугольника. Я знаю, что такое возможно только в равностороннем треугольнике, но мне нужно доказательство!

Answer 1

Пусть CH - высота, BM - медиана и О - их точка пересечения. Тогда ∠ACH=90°-60°=30°. Кроме того, ∠ОАM=30° (AO - биссектриса), т.е. треугольник AOC - равнобедренный (у него два угла по 30°),  ОM - его медиана, а значит и высота. Т.е. BM - одновременно медиана и высота треугольника ABC. Значит АВС - равнобедренный с углом 60°. Значит, он равносторонний. Т.е. все углы по 60°.