Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в области D, ограниченной x=0 y=0...

Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в области D, ограниченной x=0 y=0 x+y=3
z=x^2-2y^2+4xy-6x-1

Answer 1

Если подставить ограничение у = 3 - х в заданную функцию, то получим уравнение параболы ветвями вниз:
z = -5x² + 18x - 19.
У этой функции есть только максимум в вершине параболы:
Хо = -в / 2а = -18 / (2*5) = -18/10 = -9/5.
Уо = -14/5.

Comments

а если методом как решить это методом Лагранжа?

---

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ) = x12-2*x22+4*x1*x2-6*x1-1 + λ*(x1+x2-3-0) 
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2*x1+4*x2+λ-6 = 0
∂L/∂x2 = 4*x1-4*x2+λ = 0
∂L/∂λ = x1+x2-3 = 0
Решив данную систему, получаем стационарные точки X0.
X0=(1.8; 1.2), λ = -2.4