В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12см, ВЕ = 9 см, АК = 10...

Question

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите AC

Answer 1

ΔBEC, 

S=½BC·AK=½·15·10=75.

S=½AB·EC=½(AE+BE)·EC= ½(AE+9)·12=6(AE+9);

6(AE+9)=75,   6AE+54= 75,   6AE=75-54,  6AE=21,AE=21/6=7/2=3,5.

ΔAEC,

Ответ: АС=12,5см. 

Answer 2

найдем сторону ВС из прямоугольного треугольника ЕВС по теореме Пифагора, ВС=15 см.

высоты треугольника прямопропорциональны его сторонам: h₁:h₂=1/сторона 1:1/сторона 2 ⇒ АК:СЕ=АВ:ВС, подставив известные значения найдем значение тороны АВ=12,5см

АВ=АЕ+ЕВ   12,5=АЕ+9  АЕ=3,5см

по теореме Пифагора из треугольника АЕС-прямоугольного имеем АС=корень из (3,5 в квадрате + 12 в квадрате)=корень из 156,25=12,5 см