Log 1/2 (2sinx)+ log 2(sqrt 3 cox x)=-1

ОДЗ: sinx>0
cosx>0
По формуле перехода к другому основанию

$log_2( \sqrt{3}cosx)= \frac{log_{ \frac{1}{2}}( \sqrt{3}cosx ) }{log_{ \frac{1}{2}}2 }= \\ \\ =-log_{ \frac{1}{2}} (\sqrt{3} cosx)$

Уравнение примет вид:

$log_{ \frac{1}{2}} (2sinx)-log_{ \frac{1}{2}} (\sqrt{3} cosx)=-1 \\ \\log_{ \frac{1}{2}} \frac{2sinx}{ \sqrt{3}cosx } =-1 \\ \\ \frac{2sinx}{ \sqrt{3}cosx } =( \frac{1}{2})^{-1}$

$\frac{2sinx}{ \sqrt{3}cosx } =2 \\ \\ tgx= \sqrt{3} \\ \\ x=arctg \sqrt{3} + \pi k,k\inZ \\ \\ x= \frac{ \pi }{3}+ \pi k,k\in Z$

C учетом ОДЗ ( х - угол в первой четверти, синус положителен и косинус положителен)

Ответ. $x= \frac{ \pi }{3}+2 \pi k,k\in Z$