Математики ** помощь, нужно завтра сдать! Нужно походовое решение! Доказать, что при...

Question 1

Математики на помощь, нужно завтра сдать! Нужно походовое решение!
Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство
$S _{n} = \frac{1}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 3^{3} } +...+ \frac{1}{ n^{2} } \ \textless \ 1$

Question 2

В условии во второй дроби знаменатель скорее всего 3^2, а не 3^3

Question 3

Для любого натурального n>1 справедливо неравенство
$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$ <=>
n(n-1)" alt="n^2>n(n-1)" align="absmiddle" class="latex-formula">
n^2-n" alt="n^2>n^2-n" align="absmiddle" class="latex-formula">
-n" alt="0>-n" align="absmiddle" class="latex-formula"> ,что очевидно

а так как $\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+....+\frac{1}{n(n-1)}=$
$\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=$
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=$
$1-\frac{1}{n}$

то $S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<$
$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+..+\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{n}$
$S_n<1-\frac{1}{n}<1$

более строго можно доказать используя в доказательстве метод мат. индукции...

dtnth_zn · Answer 1 · 2018-04-15T21:51:32+0000

Для любого натурального n>1 справедливо неравенство
$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$ <=>
n(n-1)" alt="n^2>n(n-1)" align="absmiddle" class="latex-formula">
n^2-n" alt="n^2>n^2-n" align="absmiddle" class="latex-formula">
-n" alt="0>-n" align="absmiddle" class="latex-formula"> ,что очевидно

а так как $\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+....+\frac{1}{n(n-1)}=$
$\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=$
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=$
$1-\frac{1}{n}$

то $S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<$
$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+..+\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{n}$
$S_n<1-\frac{1}{n}<1$

более строго можно доказать используя в доказательстве метод мат. индукции...