Пожалуйста помогит!!!10 класс решение тригонометрических уравнений,с объяснением...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1. Заменяем cosx другой переменной и находим корни по дискриминанту:
$3cos^2x-5cosx-8=0\\cosx=u\\3u^2-5u-8=0\\D:25+96=121\\u=\frac{5\pm 11}{6}\\\\u_1=\frac{8}{3}\\cosx \neq \frac{8}{3}, \; cosx\in [-1;1];\\\\u_2=-1\\cosx=-1\\x=\pi +2\pi n, \; n\in Z.$
cosx=8/3 не подходит, т.к. cosx (и sinx) ограниченная функция, его значения находятся в отрезке [-1; 1].
cosx= -1 это частный случай, по таблице частных случаев пишем x=π+2πn.

2. cos²x надо заменить тождественным преобразованием как 1-sin²x, т.к. позволяет основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a=1 :
$8cos^2x-14sinx+1=0\\8(1-sin^2x)-14sinx+1=0\\8-8sin^2x-14sinx+1=0|*(-1)\\8sin^2x+14sinx-9=0\\sinx=u\\8u^2+14u-9=0\\D:196+288=484\\u=\frac{-14\pm 22}{16}\\\\u_1=\frac{1}{2}\\sinx=\frac{1}{2}\\x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-\frac{9}{4}\\sinx \neq -\frac{9}{4}, \; sinx\in [-1;1].$

3. Надо привести уравнение либо к уравнению tgx, либо ctgx разделив всё уравнение на cos²x, либо на sin²x, при условии, что делитель не равен нулю:
$5sin^2x+14sinxcosx+8cos^2x=0|:cos^2x, \; cosx, \; x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n, \; n\in Z;\\5tg^2x+14tgx+8=0\\tgx=u\\5u^2+14u+8=0\\D:196-160=36\\u=\frac{-14\pm 6}{10}\\\\u_1=-\frac{4}{5}\\tgx=-\frac{4}{5}\\x=-arctg\frac{4}{5}+\pi k, \; k\in Z;\\\\u_2=-2\\tgx=-2\\x=-arctg2+\pi k, \; k\in Z.$

4. Приводим уравнение к уравнению tgx или ctgx используя основное тригонометрическое тождество: tgx*ctgx=1, а значит tgx=1/ctgx или ctgx=1/tgx:
$2tgx-9ctgx+3=0\\2tgx-\frac{9}{tgx}+3=0|*tgx\\2tg^2x+3tgx-9=0\\tgx=u\\2u^2+3u-9=0\\D:9+72=81\\u=\frac{-3\pm 9}{4}\\\\u_1=\frac{3}{2}\\tgx=\frac{3}{2}\\x=arctg\frac{3}{2}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-3\\tgx=-3\\x=-arctg3+\pi n, \; n\in Z.$

5. Раскрываем sin2x = 2sinxcosx и делим либо на sin²x, либо на cos²x, как в уравнениях выше:
$sin^2x-5cos^2x=2sin2x\\sin^2x-5cos^2x=2(2sinxcosx)|:cos^2x, \; x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n, \; n\in Z;\\tg^2x-4tgx-5=0\\tgx=u\\u^2-4u-5=0\\D:16+20=36\\u=\frac{4\pm 6}{2}\\\\u_1=5\\tgx=5\\x=arctg5+\pi k,\; k\in Z;\\\\u_2=-1\\tgx=-1\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi k, \; k\in Z.$

6. Приведём уравнение к уравнению cosx, т.к. левую часть равенства можно преобразовать с помощью формулы cos2x:
$cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\\cos2x=2cos^2x-1\\cos2x+1=cos^2x\\\\5cos2x+5=5(cos2x+1)=5cos^2x;$

$5cos^2x=8sin2x-6sin^2x\\5cos^2x=8*(2sinxcosx)-6sin^2x\\5cos^2x-16sinxcosx+6sin^2x=0|:sin^2x, \; x \neq \pi n, \; n\in Z;\\5ctg^2x-16ctgx+6=0\\ctgx=u\\5u^2-16u+6=0\\D:256-120=136\\u=\frac{16\pm 4\sqrt{34}}{10}=\frac{8\pm2\sqrt{34}}{5}\\\\u_1_2=\frac{8 \pm 2\sqrt{34}}{5}\\ctgx=\frac{8\pm 2\sqrt{34}}{5}\\x_1_2=arcctg\frac{8\pm 2\sqrt{34}}{5}+\pi k, \; k\in Z.$

Freakazoid_zn (25.6k баллов) 16 Апр, 18