Дано вещественное число а . Найти такое наименьшее m, при котором: 1+ 1/2+1/3+...+ 1/m>a

Дан 1 ответ

Правильный ответ

// PascalABC.NET 3.0, сборка 1160 от 05.02.2016
function SHarm(m:integer):real:=Range(1,m).Select(x->1/x).Sum;

begin
var a:=ReadReal('a=');
var m:=1;
while SHarm(m)<=a do Inc(m); Writeln('m=',m)
end.

Тестовое решение:
a= 5
m=83

Указанный ряд - это известный в математике расходящийся гармонический ряд. Его приближенное значение суммы можно определить по формуле Эйлера:
$\displaystyle S(m)=\sum_{i=1}^m \frac{1}{i} \approx \ln(m)+C, \quad C\approx 0.577\ 215\ 664\ 902$
Нам требуется определить m, для которого S(m)>a, тогда
$\displayvalue \ln(m)+C\ \textgreater \ a; \ ln(m)\ \textgreater \ a-C \to m\ \textgreater \ e^{a-C}$
Будем искать m, отбрасывая дробную часть полученного результата, а потом делать уточнение путем непосредственного вычисления сумм.

// PascalABC.NET 3.0, сборка 1160 от 05.02.2016

const C=0.577215664902; // Постоянная Эйлера-Маскерони

function SHarm(m:integer):real:=Range(1,m).Select(x->1/x).Sum;

begin
var a:=ReadReal('a=');
var m:=1;
if a<=3 then begin while SHarm(m)<=a do Inc(m); Writeln('m=',m)
 end
else begin
 var s:real:=Int(exp(a-C));
 if a<10 then begin m:=Trunc(s);
 while SHarm(m)<=a do Inc(m); Writeln('m=',m)
 end
 else Writeln('m=',s)
 end
end.

В этом случае можно проводить оценочный расчет для больших значений а:

a= 200
m=4.05709150011779E+86

Alviko_zn (142k баллов) 16 Апр, 18