Сравните числа: корень из 2006+корень из 2008 и 2 корня из 2007

Question

Сравните числа: корень из 2006+корень из 2008 и 2 корня из 2007

Comments

к - корень

---

(k(2006) + k(2008))^2 = 2006 + 2k(2006*2008) + 2008 =

---

= (2007-1) + 2k((2007-1)(2007+1)) + (2007+1) =

---

= 2*2007 + 2*k(2007^2 - 1). ____ (*)

---

(2k(2007)^2 = 4*2007 =2*2007 + 2*2007 =

---

= 2*2007 + 2*k(2007^2). ____(**)

---

(*) _____ (**)

---

2*2007 + 2*k(2007^2 - 1) __ < __ 2*2007 + 2*k(2007^2)

---

k(2006) + k(2008) < 2*k(2007)

Answer 1

Обозначим:  К=2007
                   К-1= 2006    К+1= 2008
√(К-1) + √(К+1)  = 2*√К  ?
Обе части равенства возводим в квадрат
  К-1  +2√(К^2-1) +  K+1  = 4*K   ?
2K + 2√(K^2-1) =4*K   ?
K +√(K^2-1) =2*K  ?   √(K^2-1)   <   K
K+ √(K^2-1) < 2*K  , то есть:  √2006  +√2008  <  √2007