1 Задача.
∠CAD=180-∠BAC
Рассмотрим ΔABC.
Нужно найти угол С, про который мы из рисунка знаем, что он состоит из 2 углов: ∠C1CB и ∠C1CA, которые равны. А угол C1CB мы можем найти рассмотрев ΔBC1C:
Нам в данном случае подойдёт формула про отношение противолежащего катета к гипотенузе и синусу острого угла/ Обзову угол C1CB углом β, т.е получается:
C1B=C1C*sinβ
Подставляем известные значения, получаем:
8=16*sinβ
sinβ=8/16=1/2
Синус какого угла равен 1/2? подсмотрим в табличку, получаем 30°
Ну и раз мы нашли половинку угла С, можем найти и весь угол:
2*30=60°
Получается, что ∠BAC=180-(90+60)=180-150 = 30°
Теперь находим ∠CAD=180-30=150°
Ответ: 150°
4 Задача.
для начала найдём стороны ΔCBA
Также по формуле соотношения противолежащего катета и синусу острого угла к гипотенузе, находим BA
BC=BA*sin30
BA=BC/sin30
BA=4/0.5
BA=8
Теперь найдём CA по теореме Пифагора:
CA²=8²-4²
CA²=64-16
CA=√48=4√3
Теперь смотри на рисунок и видим, что CM-это медиана проведённая из прямоугольного угла, а это значит (по свойствам медиан прямоугольного треугольника) что она является радиусом описанной окружности и равна половине гипотенузы, т.е. CM=1/2BA=4. Ну и раз CM - медиана, то BM=MA=4
Теперь рассмотри ΔCMA и видим что он является равнобедренным, поскольку CM=4 и MA=4. Биссектриса MD - также будет являться и медианой и высотой, поскольку проведена из вершины равнобедренного треугольника к его основанию.
Ну а раз MD - медиана, то CD=DA=CA/2 Подставим наши значения и получим CD=(4√3)/2=2√3
Теперь рассмотрим прямоугольный ΔCMD И по теореме Пифагора находим катет MD.
MD²=CM²-CD²
MD²=4²- (2√3)²
MD²=16-12
MD²=4
MD=√4
MD=2
Ответ: MD = 2