Ну как у всех все сложно.
Если провести высоту к этой заданной стороне а, то она делит её на два прямоугольных треугольника - один из них равнобедренный (где угол пи/4), другой - с углом пи/6.
Если отрезок стороны а в первом - равнобедренном - треугольнике обозначить х, то и высота к стороне а будет х, при этом из второго треугольника a - x = x√3;
Осюда х = а/(√3 + 1) = (a/2)*(√3 - 1);
и площадь S = a*x/2 = (a^2/4)*(√3 - 1);