задание прикреплено)) нужно решить № 32 и 33

$\int\limits^\frac{5\pi}{6}_\frac{\pi}{6} {cosx} \, dx=sin\frac{5\pi}{6}-sin\frac{\pi}{6}=sin150^o-sin30^o=\\ =sin(180^o-30^o)-sin30^o=sin30^o-sin30^o=0\\ \\ \int\limits^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3} {sinx} \, dx=-(cos\frac{2\pi}{3}-cos\frac{\pi}{3})=-(cos120^o-cos60^o)=\\ =-(cos(90^o+30^o)-cos60^o)=-(-sin30^o-cos60^o)=\\ =sin30^o+cos60^o=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\\ \\$

$\int\limits^1_{-1} {(5x^4+6x^2)} \, dx=\int\limits^1_{-1} {5x^4} \, dx+\int\limits^1_{-1} {6x^2} \, dx=\\ =5*\frac{x^5}{5}|^1_{-1}+6*\frac{x^3}{3}|^1_{-1}=x^5|^1_{-1}+2x^3|^1_{-1}=1+1+2+2=6\\ \\ \int\limits^1_{-2} {(4x^3+6x)} \, dx=\int\limits^1_{-2} {4x^3} \, dx+\int\limits^1_{-2} {6x} \, dx=\\ =4*\frac{x^4}{4}|^1_{-2}+6*\frac{x^2}{2}|^1_{-2}=x^4|^1_{-2}+3x^2|^1_{-2}=(1-16)+3(1-4)=\\ =-15-9=-24\\$

1) ∫cosxdx=sinx( c подстановкой от π/6 до 5π/6)=sin5π/6-sinπ/6=1/2-1/2=0

2) ∫sinxdx=-cosx(с подст. от π/3 до 2π/3)= -cos2π/3+cosπ/3=

= -cos(π-π/3)+cosπ/3=cosπ/3+cosπ/3=2*1/2=1

3) ∫¹(5x⁴+6x²)dx=(x⁵+2x³) |¹=(1+2)-[ (-1)⁵+2(-1)³] = 3-[-1-2]=6 (подстановка от (-1) до 1)

4)∫¹(4x³+6x)dx=(x⁴+3x²)|¹=1+3-((-2)⁴+3*(-2)²)=4-[16+12]=-24 (подстан. от (-2) до 1)

5)∫₀sin²x/2dx=1/2*∫₀(1-cosx)dx=1/2(x-sinx)|₀=1/2(π/2-sinπ/2)=1/2*π/2=π/4 (подстановка от 0 до π/2, sinπ/2=0

6)Преобразуем x³+x²+x+1=x²(x+1)+(x+1)=(x+1)(x²+1) Сократятся (х+1), останется (х²+1).

∫₀¹(x²+1)dx=(x³/3+x)|₀¹=1/3+1=4/3

7) x²-5x+6=(x-2)(x-3) Сократятся (х-2), останется (х-3)

∫₃⁵(x-3)dx=(x²/2-3x)|₃⁵=(25/2-15)-(9/2-9)=-2,5-(-4,5)=2

8)∫cos²x/4dx=1/2*∫(1+cosx/2)dx=1/2*(x+2sinx/2) [с подстан. от π/2 до π/2]=0, Если пределы одинаковые, то определённый интеграл =0. Можно бвло не находить первообразную( не буду её стирать, чтоб вы увидели, какая первообразная)