Пусть x(x>0) - данное число, тогда число, обратное данному - 1/x.
Применим правило о неравенстве Коши - неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Правило гласит,что среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:
(x+y)/2 >= V(xy) - V - знак квадратного корня
Запишем это неравенство для нашего случая:
(x+1/x)/2 >= V(x*1/x)
(x+1/x)/2 >= 1
x+1/x >=2, т.е. сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше 2.