Докажите, что в произвольном треугольнике прямые , проходящие через вершины и делящие...

Question

Докажите, что в произвольном треугольнике прямые , проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Comments

Торема Чевы известна?

Answer 1

Я тоже тут отмечусь, уж простите :)
Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c,
Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x;
Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y;
Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z;
Получается из условия деления периметра пополам
b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b;
где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2;
a - x = BK = p - c;
Аналогично
AM = p - c; CM = p - a;
BN = p - a; AN = p  - b;
То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1;
Остается сослаться на обратную теорему Чевы.

Comments

Равенства типа AM = p - c можно и не расписывать так длинно :) просто из условия следует, что AM + c = p; CM + a = p; и так далее

---

есть прямая, и есть обратная. Прямая - это "если AK, BM и CN пересекаются в одной точке, то AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = 1" а обратная - "если ... = 1; то ... пересекаются в одной точке". Доказательство у них принципиально разное. Обычно сначала как-то доказывают прямую, а потом обратную от "противного". По-моему, я тут приводил 3 варианта доказательств прямой теоремы, но тут так все организовано, что найти те задачи очень сложно

---

Ну, само собой, про ориентированные отрезки я не упоминаю. Есть, кстати, еще вариант ТЧ - в тригонометрической форме. Там аналогичное равенство для синусов углов, под которыми видны из точки отрезки на сторонах.

---

Вот если бы, "главные мозги" могли бы вести тут что-то вроде блога (или кружка, он же факультатив), причем с администрированием доступа, было бы куда полезнее. Но на этом сайте этого никогда не будет, он придуман для двоечников, а не для тех, кто хочет учиться.

---

Конечно, "прямая" и "обратная" - это терминология. Оба утверждения доказаны, поэтому их можно "свести в одно" и считать, что оно "работает в обе стороны". Это уже вопрос для "методиста", а не для математика.

---

Я хочу рассказать одну "поучительную" историю :))) На выпускном экзамене по математике у меня была теорема синусов. Я дал формулировку, как положено. Меня выгнали с экзамена, и был большой скандал (всё-таки победитель всяких олимпиад и т.д.). Вместо слова "пропорциональны", как требовалось РОНО, я сказал "отношения равны". Чуть "пару" не схлопотал...

---

Так вот, с тех пор я НИКОГДА не придерживаюсь "методических указаний". У меня есть (АБСОЛЮТНО ПРАВИЛЬНОЕ) убеждение, что я знаю предмет лучше любого РОНО - или как оно там сейчас называется. Вообще, слушать ДУРАКОВ вредно, а дураков с положением - особенно вредно.

---

Я не призывают никого демонстративно нарушать предписанные правила, как раз - наоборот. Просто дураков всегда надо видеть, понимать и ОБХОДИТЬ. По-возможности - аккуратно, ибо они агрессивны и опасны. В конце концов они все равно проиграют, потому что умные всегда выигрывают. Просто потери могут быть невосполнимые, их следует ТЩАТЕЛЬНО избегать.

---

В моей истории я просто обязан был ПАРАЛЛЕЛЬНО взять на заметку требования РОНО, и на экзамене дать именно требуемое определение. Это было мое упущение, но оно заключалось не в теореме синусов, а в том, что я ЗАДЕЛ ДУРАКОВ.