СРОЧНО, ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ Найдите точку максимума функции

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Поскольку просят найти точку максимума, то это не обязательно – верхняя грань области значений функции, а просто точка, где функция достигает локального максимума. Т.е. будем искать локальные максимумы.

$y = (x^2 - 17x+17)e^{9-x} \ ;$

Найдём производную:

$y'_x (x) = (x^2 - 17x+17)'_x \cdot e^{9-x} + (x^2 - 17x+17) \cdot ( e^{9-x} )'_x = \\\\ = (2x - 17)e^{9-x} + (x^2 - 17x+17)e^{9-x} \cdot ( 9 - x )'_x = \\\\ = (2x - 17)e^{9-x} + ( x^2 - 17x + 17 )e^{9-x} \cdot ( - 1 ) = \\\\ = ( 2x - 17 - [ x^2 - 17x + 17 ] ) e^{9-x} = - ( x^2 - 19x + 34 ) e^{9-x} \ ;$

Найдём нули производной

$y'_x (x) = 0 \ ;$

$- ( x^2 - 19x + 34 ) e^{9-x} = 0 \ ;$

$x^2 - 19x + 34 = 0 \ ;$

$D = 19^2 - 4 \cdot 34 = 361 - 136 = 225 = 15^2 \ ;$

$x_{1,2} = \frac{ 19 \pm 15 }{2} \in \{ 2 ; 17 \} \ ;$

Причём, ясно, что:

при: $x < 2 ; \ \ \Rightarrow \ y'_x (x) < 0 \ ;$

при:

0 \ ; " alt=" 2< x < 17 ; \ \ \Rightarrow \ y'_x (x) > 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

и при:

17 ; \ \ \Rightarrow \ y'_x (x) < 0 \ ; " alt=" x > 17 ; \ \ \Rightarrow \ y'_x (x) < 0 \ ; " align="absmiddle" class="latex-formula">

А значит максимум у функции будет при $x = 17 \ ;$

$y (x=17) = ( 17^2 - 17 \cdot 17 + 17 ) e^{ 9 - 17 } = 17 e^{-8} = \frac{17}{e^8} \ ;$

Приближённо, если необходимо реалистичное построение,
можно заметить, что:

$e^8 \approx 2 \ 800 \ ;$

$y (x=17) \approx \frac{17}{2 800} \approx 0.006 \ ;$

О т в е т : точка максимума функции: $( x_{max} ; y_{max} ) = ( 17 ; \frac{17}{e^8} ) \ .$

gartenzie_zn (8.4k баллов) 20 Апр, 18