Для вычисления первого интеграла применим метод "по частям". Пусть u=ln x, dv=dx/x². Тогда du=dx/x, v=∫dx/x²=-1/x, и ∫ln(x)*dx/x²=-ln(x)/x+∫dx/x²=-ln(x)/x-1/x=-(ln(x)+1)/x. Подстановка пределов интегрирования даёт число -2/е+1=(е-2)/е. Ответ: -2/e+1=(e-2)/e
Для вычисления второго интеграла произведём замену переменной. Пусть x=7*sin(t), тогда dx=-7*cos(t)*dt. При x=0 7*sin(t)=0, откуда t=0. При x=7 7*sin(t), откуда sin(t)=1 и t=π/2. Таким образом, пределы интегрирования при замене переменной меняются с 0 и 7 на 0 и π/2. Рассмотрим неопределённый интеграл ∫√(49-49*sin²(t))*(-7*cos(t)*dt=-49*∫cos²(t)*dt. Так как cos²(t)=(1+cos(2t))/2, то данный интеграл приводится к сумме интегралов -49/2*∫dt-49/2*∫cos(2t)*dt=-49*t/2-49/4*∫cos(2t)*d(2t)=-49*t/2-49*sin(2t)/4. Подстановка в это выражение пределов интегрирования 0 и π/2 даёт число -49*π/4. Ответ: -49*π/4