3)Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
равна 162 см², ее апофема - 6 см.
Найдите высоту и объем пирамиды.
1) Найдем сторону правильного треугольника - основания пирамиды
Площадь боковой поверхности равна 162 см² - это площадь всех трех её граней.
Площадь одной грани равна
S ᐃ АВС=162:3=54 см²
S ᐃ АВС=РМ·АВ:2
6·АВ:2=54
6·АВ=108
АВ=18см
Высоту РН пирамиды найдем из прямоугольного треугольника МРН
Основание высоты правильной треугольной пирамиды - центр основания пирамиды, который находится в точке пересечения высот правильного треугольника.
МН - 1/3 СМ - высоты треугольника в основании, так как ВМ - высота, медиана и биссектриса этого треугольника, а медианы при пересечении делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
ВМ=АВ·sin(60°)=18√3):2=9√3
МН=ВМ:3=3√3
Находим высоту РН пирамиды по теореме Пифагора из треугольника РНМ
РН=√(РМ²-МН²)=√(36-27)=√9=3 см
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Socн=а²√3):4
Socн=18²√3):4=81√3
V =81√3·3:3=81√3см³
-------------------------------------------
4)Найти объем шара, ограниченного сферой, площадь которой равна 64 п см²
Объем шара найдем через радиус сферы, которая его ограничивает.
Scферы=4πr²
4πr²=64см²
πr²=16
r²=16:π
r=4:√π
Объем шара находят по формуле
V=4πr³):3
V=(4πr²*r):3=(64π*4:√π):3=(256√π):3 cм³