Решение
1.
а) у = (x - 2)²/(x+1)
Находим первую производную функции:
y ` = - (x - 2)/(x + 1)² + (2x - 4)/(x + 1)
или
y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)²
Приравниваем ее к нулю:
[(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² = 0
(x - 2)*(x + 4) = 0 , x ≠ 0
x₁ = - 4
x₂ = 2
Вычисляем значения функции
f(- 4) = -12
f(2) = 0
Ответ: fmin = -12, fmax = 0
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y `` = [2* (x - 2)²/(x + 1)³ + 2/(x + 1) - (4x - 8)/(x + 1)²
или
y `` = 18/(x + 1)³
Вычисляем:
y `` =(- 4) = - 2/3 < 0
значит эта точка - максимума функции.
y`` (2) = 2/3 > 0
значит эта точка - минимума функции.
б) промежутки монотонности функции
y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)²
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
(x - 2) * (x+4) = 0
Откуда:
x₁ = - 4
x₂ = 2
(-∞ ;-4) f'(x) > 0 функция возрастает
(-4; -1) f'(x) < 0 функция убывает
(-1; 2) f'(x) < 0 функция убывает
(2; +∞) f'(x) > 0 функция возрастает
В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет
знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -4 - точка максимума.
В окрестности точки x = 2 производная функции меняет
знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.
2.
а) у = √х - х
Находим первую производную функции:
y ` = - 1 + 1/2√x
Приравниваем ее к нулю:
- 1 + 1/2√x = 0
√x = 2/2
x = 1/4
Вычисляем значения функции
f(1/4) = 1/4
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y `` = - 1 / (4x³/²)
Вычисляем:
y `` (1/4) = - 2 < 0
значит эта точка - максимума функции.
б) промежутки монотонности функции
y ` =- 1 + 1/2√x
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
- 1 + 1/2√x = 0
Откуда:
x = 1/4
(-∞ ;1/4) f'(x) > 0 функция возрастает
(1/4; +∞) f'(x) < 0 функция убывает
В окрестности точки x = 1/4 производная функции меняет
знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1/4 - точка максимума.