Всё-таки пришёл к мысли, что задача решается вычислительным способом. Если бы цифры были чуть-чуть другими, то треугольник получился бы прямоугольным, и тогда задача решилась бы очень красиво. Но треугольник чуть-чуть туповат, самую малость, но всё же.
Обозначаю его так: пусть он АВС, центр впис. окр - точка О. Точки касания окружностью сторон, соответственно, С1, А1 и В1 (по противолежащей стороне).Пусть АО=корень(30), ВО=корень(370). СО нам неизвестно.
Мы имеем три пары равных треугольников: ОВС1 = ОВА1 по общей стороне, равенству ОС1=ОА1, равенству прямого угла в точке касания, и равенству углов С1ВО и А1ВО(ибо ВО - биссектриса угла АВС). Всё так? Что ж, решаем известные треугольники.
В треугольнике ОВС1 знаем гипотеузу ОВ = корень(370) и катет С1О = 3. Отсюда синус С1ВО = 3 /корень(370) = 0.1559625734730109, а сам угол = 8.972626614896393 градусов.Аналогично в ОАС1 гипотенуза ОА = корень(30) и катет С1О = 3, отсюда синус С1АО = 3/корень(30) = 0.5477225575051661, а сам угол = 33.21091076089908 градусов.
Теперь заметим, что сумма углов треугольника АВС = 180 градусов, а сумма половин углов = 90 градусов. Отсюда угол ОСВ1 = ОСА1 = 90 - сумма двух найденных углов.90 - 8.972626614896393 - 33.21091076089908 = 47.816462624204526 градусов.
Итак, в треугольнике ОСВ1 мы знаем катет ОВ1 = r = 3, и угол ОСВ1. Можем найти второй катет В1С = ОВ1 / tg (ОСВ1) = 2.718663608560393.
Теперь заметим, что сумма следующих трёх отрезков: В1С, А1В, С1А составляет половину периметра треугольника - это желанная величина.В1С мы только что нашли. Найдём остальные два отрезка по теореме Пифагора.
С1А=корень(370-3*3) = корень(361)=19.С1А = корень(30 - 3*3) = корень(21) = 4.58257569495584.
Складываем эти три отрезка, и получаем: 2.718663608560393 + 19 + 4.58257569495584 = 26.301239303516233. Вот нам и готов полупериметр p.
Теперь применяем формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = r * p = 3 * 26.301239303516233 = 78.90371791054869. Такой выходит ответ.
В том, что этот ответ верный, у меня сомнений нет. Остаются лишь сомнения, что не увидел какой-то геометрический способ решения. Поэтому применил вычислительный. Ну, по крайней мере есть хоть такой. Ещё буду думать. К сожалению, есть банальный закон подлости - хорошая мысля приходит опосля. Может быть завтра само собой выскочит более короткое и красивое решение.