Знайти площу фігури обмеженої графіками функції y=(x+1)^2, y^2=x+1

Находим пределы по оси х фигуры, ограниченной графиками функций y=(x+1)^2 и y^2=x+1.
Для этого приравниваем:
(x+1)^2 = (x+1)^(1/2).
Возводим обе части уравнения в квадрат:
(х+1)^4 = x+1,
(х+1)^4 - x+1 = 0,
(x+1)((x+1)^3 - 1) = 0.
Отсюда имеем:
х+1 = 0
х = -1.
(x+1)^3 - 1)= 0.
(x+1)^3 = 1.
Извлечём корень кубический из обеих частей:
х+1 = 1,
х = 1 - 1 = 0.

Найдены пределы фигуры:
х = -1,
х = 0.

$\int\limits^0_{-1} { \sqrt{x+1}-(x+1)^2 } \, dx = \frac{2}{3}(x+1)^ \frac{3}{2}- \frac{1}{3}(x+1)^3|_{-1}^0.$

Подставив пределы интегрирования, получаем:
$S=(\frac{2}{3}(0+1)^{ \frac{3}{2}}- \frac{1}{3}(0+1)^3 )-( \frac{2}{3}(-1+1)^{ \frac{3}{2}}- \frac{1}{3}(-1+1)^3 )=$
$( \frac{2}{3}- \frac{1}{3})-(0-0)= \frac{1}{3}.$