Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О.** отрезке АО как ** диаметре построен...

Question

Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О.На отрезке АО как на диаметре построен круг.Окружность,ограничивающая круг,пересекает сторону АD в точке Р.Известно,что АР=6√3см,а РD=2√3см.Вычислите площадь части круга,расположенной вне ромба.

Answer 1

Построение будет симметрично относительно диагонали АС, поэтому найдем площадь части круга, расположенной вне ромба справа от диагонали АС и умножим это значение на 2. Треугольник AOD - прямоугольный, т. к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Отрезок OP перпендикулярен стороне AD, т. к. угол АРО опирается на диаметр. По теореме о соотношениях в прямоугольном треугольнике AO^2=AP*AD=AP*(AP+PD)=6*sqrt(3)*[6*sqrt(3)+2*sqrt(3)]=144 => AO=12 (см) . R=AO1=OO1=AO/2=12/2=6 (см) . sinAOP=AP/AO=6*sqrt(3)/12=sqrt(3)/2 => угол AOP=угол O1OP=pi/3. Треугольник OO1P - равнобедренный (OO1=PO1=R), углы при его основании равны, т. е. угол O1OP=угол O1PO=pi/3. Угол AO1P - внешний по отношению к углам O1OP и O1PO треугольника OO1P, он равен их сумме, т. е. угол AO1P=угол O1OP+угол O1PO=pi/3+pi/3=2pi/3. Sчасти=Sсект. -S AO1P, где Sсект. =(1/2)*R^2*угол AO1P, S AO1P=(1/2)*R^2*sinAO1P => Sчасти=(1/2)*R^2*(угол AO1P-sinAO1P)=(1/2)*6^2*[2pi/3-sin(pi-pi/3)]=(1/2)*36*[2pi/3-sqrt(3)/2]=(1/2)*6*[4pi-3*sqrt(3)] (кв. см) => 2Sчасти=2*(1/2)*6*[4pi-3*sqrt(3)]=6*[4pi-3*sqrt(3)] (кв. см) . Ответ: 6*[4pi-3*sqrt(3)] кв. см.

Answer 2

Усть К - точка пересечения окружности с АD, М - центр  окружности.   
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,  пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. ⇒  
 Треугольники АОD и ТОD прямоугольные и равны между собой. 
 Из ∆ DОС  tg∠ODC=OC:OD 
OC=AC:2=6; 
OD=BD:2-6√3 
tg∠ODC =6:6√3=1/√3 - это тангенс 30º   
Угол АDО=углу СDО, отсюда дуга  КО=дуге ТО, а так 
 как  дуга DmКО=дуге DnТО, то дугa КmD=дуге ТnD.  
Равные дуги стягиваются равными хордами.  ⇒ 
 КD=ТD  ⇒  Сегменты DmК и DnТ равны.   
DM=TM=KM- радиусы.  
Равнобедренные ∆ DКМ=∆ DТМ по трем сторонам.  
Углы при DТ и DК равны 30º,  следовательно,  
углы при М равны 180º-(30º+30º)=120º  ⇒  
 угол КМТ=360º-2*120º=120º.  
Площадь круга радиусами DМ, КМ, ТМ делится на 3 равные части.  
DО - диаметр, следовательно 
r=DМ=DO:2=3√3 
Площадь круга находим по формуле  
S=πr²S=27π 
Площадь 1/3 круга равна 27π:3=9π 
S каждого из сегментов DmK и DnT равны разности между площадью 1/3 круга и  площадью треугольника DМТ. 
Ѕ ∆ DМТ=DМ*ТМ*sin 120º:2=(27√3):4 
S  сегмента =9π-(27√3):4=≈ 7,37 см²  
 S DmT+S DnT=2*7,37= ≈  14,74см²  - искомая площадь.