6^x+8^x=10^x
6^x+8^x-10^x=0
(2*3)^x + (2*4)^x - (2*5)^x=0
2^x*3^x + 2^x*4^x - 2^x*5^x =0
2^x(3^x+4^x-5^x)=0
2^x=0 U 3^x+4^x-5^x=0
1)2^x=0 - решений нет, т.к. 2^x >0 должно быть
2) 3^x+4^x-5^x=0
3^x+4^x=5^x
Легко заметить, что х=2 - корень уравнения. Докажем это:
разделим обе части уравнения на "5^x":
(3/5)^x + (4/5)^x =1
Функция y(x) = (3/5)^x +(4/5)^x монотонно убывает( как сумма двух монотонно убывающих функций), поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз. Поскольку y(2)=1, то х=2 - единственный корень уравнения (3/5)^x+(4/5)^x=1, а значит, и данного уравнения.
Ответ: x=2