Один из углов треугольника равен 60. Найдите расстояние между проекциями середины...

Пусть О₁ и О₂- проекции точки О на стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно.

ОО₁ и ОО₂ перпендикулярны к АВ и АС соответственно и параллельны высотам СН₁ и ВН₂ к сторонам АВ и АС соответственно.

Поскольку ОВ=ОС, то ОО₁ и ОО₂ средние линии треугольников СН₁В и ВН₂С соответственно и равны:

$OO_1=\frac{CH_1}{2}=\frac{4}{2}=2$

$OO_2=\frac{BH_2}{2}=\frac{2}{2}=1$

Рассмотрим четырёхуголник АО₁ОО₂:

Углы О₁ и О₂ - прямые, угол А=60⁰, значит угол О=360-(90+90+60)=120⁰

По теореме косинусов находим О₁О₂:

$O_1O_2=\sqrt{OO_1^2+OO_2^2-2\cdot OO_1\cdot OO_2\cdot cos120^0}=\\\\\sqrt{2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot(-\frac{1}{2})}=\sqrt{5+2}=\sqrt7$

Ну и, как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!... ;)))