Для неотрицательных x,y имеет место неравенство x+y≥2√(xy), которое легко доказывается раскрытием скобок в очевидном неравенстве (√x-√y)²≥0. Применяем его к каждой скобке в произведении:
(а+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥2√(a·1)·2√(b·1)·2√(a·c)·2√(b·c)=16√(a²b²c²)=16abc.