Решите систему неравенств. объясните пожалуйста как понЯть одз и что делать с модулем? - Все ответы

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Мало баллов :(

Попробую начать с ОДЗ. Заметим, что в первом неравенстве знаменатель не должен быть равен 0. То есть $2x-1\neq 0$

$x\neq 0,5$

$x\in(-\infty;0,5)\cup(0,5;\infty)$ - это и есть ОДЗ.

Попробую решить сначала первое неравенство.

$\frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}\leqslant 1$

$\frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}\leqslant \frac{2x-1}{2x-1}$

$\frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x-1}\leqslant 0$

$\frac{2*x^2-2x+1-(2x-1)}{2x-1}\leqslant 0$

$\frac{2*x^2-2x+1-2x+1}{2x-1}\leqslant 0$

$\frac{2*x^2-4x+2}{2x-1}\leqslant 0$

$\frac{2*(x^2-2x+1)}{2x-1}\leqslant 0$

Сократим обе части на 2.

$\frac{x^2-2x+1}{2x-1}\leqslant 0$

$\frac{(x-1)^2}{2x-1}\leqslant 0$

Заметим, что числитель при любых х будет неотрицательным. Только при х=1. Дробь обращается в 0 и удовлетворяет неравенству.

Значит все остальное зависит от знаменателя. Нам нужно решить довольно простое неравенство 2х-1<0. Равенство невозможно, так как противоречит ОДЗ. х<0,5.</p>

Значит решением этого неравенства будет

$x\in(-\infty; 0,5)\cup \{1\}$

Теперь попытаемся решить второе неравенство, учитывая первое.

$25x^2-3*|3-5x|<30x-9$

$25x^2-30x+9-3*|3-5x|<0$

$25x^2-30x+9<3*|3-5x|$

Выделим полный квадрат в левой части

$(3-5x)^2<3*|3-5x|$

Обозначим через t=|3-5x|. Тогда t - неотрицательно. Перепишем неравенство

$t^2<3t$

$t*(t-3)<0$

Так как t - неотрицательно, то все зависит от второго множителя.

t-3<0</p>

|3-5x|-3<0 (*)<br>

Рассмотрим 2 случая

$1) \quad 3-5x\geqslant 0$

$3\geqslant 5x$

$\frac{3}{5}\geqslant x$

$0,6\geqslant x$

$x\leqslant 0,6\quad(**)$

Тогда модуль раскрывается в неравенстве (*)

(3-5х)-3<0</p>

3-5x-3<0</p>

-5х<0</p>

x>0

Учитывая (**) решением этого случая будет $x\in(0;0,6]$

$2)\quad 3-5x<0$

$3<5x$

$\frac{3}{5}<x$

$0,6<x$

$x\in(0,6;\infty)\quad (***)$

Тогда модуль раскрывается в виде

-(3-5х)-3<0</p>

-3+5x-3<0</p>

-6+5x<0</p>

5x<6</p>

x<1,2 </p>

Учитывая, условие (***) $x\in(0,6;1,2)$

Во втором неравенстве объединяется оба случая. Так как это решения в двух различных случаях. Объединением $x\in(0;0,6]\cup(0,6;1,2)$ будет $x\in(0;1,2).$

Решением систему неравенств будет пересечение решений первого и второго неравенств.

То есть

По правилам пересечений и объединения множеств

$\left((-\infty;0,5)\cup\{1\}\right)\cap(0;1,2)=$

$((-\infty;0,5)\cap(0;1,2))\cup(\{1\}\cap(0;1,2))=$

$=(0;0,5)\cup\{1\}$

Ответ: $(0;0,5)\cup\{1\}$

bearcab_zn (114k баллов) 11 Март, 18