ПОМОГИТЕ ГУМАНИТАРИЮ!! ** основаниях ab и cd трапеции abcd построены квадраты (вне ее)....

Question

ПОМОГИТЕ ГУМАНИТАРИЮ!! На основаниях ab и cd трапеции abcd построены квадраты (вне ее). Докажите, что прямая, проходящая через центры квадратов, проходит и через точку пересечения диагоналей трапеции. Полное решение!

Comments

Ну, гуманитарию ничего так дают задачки. На самом деле точка пересечения диагоналей будет центром гомотетии для этих квадратов. Это уже самое полное решение, если вам знакома теория :)

---

Если нет - не беда. Ясно, что стороны квадратов будут относиться так же, как отрезки диагоналей. Поэтому можно просто указать несколько пропорциональных векторов, и направления на центры квадратов будут из них складываться. Это то же самое, только без слова "гомотетия"

---

Ну вот к примеру, трапеция ABCD (по часовой стрелке с левого нижнего угла), O- точка пересечения диагоналей, отношение AD/BC = k; вектор DO = -k*BO; если M - центр квадрата, построенного на BC, а N - на AD, то очень легко показать, что DN = -k*BM; поэтому вектор ON = - k*OM, что и требовалось доказать

---

Я только надеюсь, что гуманитарию не надо объяснять, почему надо было доказать именно это :))), и что "это" и есть "то", что спрошено в задаче :)))

---

"очень легко показать, что DN = -k*BM; " ну вот очевидно, что векторы DA = -k*BC; (k - число, равное отношению длин оснований) DD1 = -k*BB1; (квадраты BB1C1C и DD1A1A); поэтому вектор DN = (DA + DD1)/2 тоже так связан с вектором BM = (BC + BB1)/2; это векторные суммы, разумеется)

---

Разумеется, существует и совсем не сложный "классический" способ доказательства. Можно построить трапецию с вершинами в центрах квадратов, так, чтобы у неё была одна общая диагональ с исходной. И показать, что у неё то же отношение оснований. ЧТД

---

Почему ЧТД? да потому, что нужная линия разделит общую диагональ в той же пропорции... то есть пройдет через ту же точку...

Answer 1

Это та задача, на которую я только что отправил ответ, и по-моему, именно Вам! Решение в приложении.

---