" Позавтракав, машина приехала за нами" - выражение, нелепость которого является, безусловно, тёмной стороной примеров грамматики русского языка. Если рассмотреть это предложение с постановлением вопроса от глагола к одиночному деепричастию , можно легко заметить, как машина превращается в одушевлённый предмет и приобретает способность " завтракать". Основная ошибка такого рода предложений- неправильное согласование деепричастия с глаголом, изображающим определённое действие . Таким образом, не машина должа была "позавтракать" а "мы" должны были это сделать. Окончательный вид после преобразования этого словесного каламбура выглядит так: " Позавтракав, мы увидели, что машина приехала за нами".
Мораль одна: нужно быть внимательным с хитрой и коварной частью речи- деепричастием, и и употреблять его правильно, чтобы русский человек всегда вас понял.