Нужно из формулы радиуса вписанной окружности для произвольного треугольника: r=1/p *...

Question

Нужно из формулы радиуса вписанной окружности для произвольного треугольника: r=1/p * √p(p-a)(p-b)(p-c) вывести формулу для радиуса окружности вписанной в прямоугольный треугольник: r=(a+b-c)/2.

Comments

По формуле Герона заменяем на s подкоренное выражение. . потом площадь заменяем на полупроизведение катетов, а потом из формулы квадрата суммы ав заменяем. В чем подвох? Ну, еще полупериметр заменяем периметром. Двойка идет наверх.

---

Нужно не возвращаться к той формуле. Забыть про неё. А выводить отсюда. Заменить полупериметр на полусумму сторон и так далее.

---

Ого! Это сколько же лопатить. Но, интересно

---

интересно. Я из этого вывел те же ав. А вот а+в-с не получилось. Спасибо за задачку. Буду пробовать.

---

Я несколько дней понемногу над этим думал. Вроде получилось. Когда знаешь к чему идти, то намного легче.

Answer 1

Радиус окоужности, вписанной в произвольный треугольник: r=1/p×\|(p (p-a)(p-b)(p-c)). Итак, r=1/p×\|S. Поскольку S прямоугольного треугольника равно полупроизведению катетов, получается S=ab/2. Тогда r=1/p×ab/2. p= (a+b+c)/2. r=2/(a+b+c)=ab/2. r=ab/(a+b+c)=(a+b-c)/2, что и нужно было доказать.

Comments

если бы я хотел получить вывод из формулы r=S/p, я бы так и написал. Это не то.

---

А а твоем решение где доказательство, что ab/(a+b+c)=(a+b-c)/2? Мне нужен вывод из приведенной формулы, без возвращения к r=S/p. Вывести можно.

---

r=1/p×\|((p-a)(p-b)(p-c))=\|((p-a)(p-b)(p-c)/p). Площадь произвольного треугольника S1 =r×p=\|((p-a)(p-b)(p-c)/p)×p. S1^2=((p-a)(p-b)(p-c)/p)×p^2.
r=(a+b-c)/2=ab/(a+b+c). S=(ab/p)×p=ab. S2^2=(ad)^2. ((p-a)(p-b)(p-c)/p)×p^2=ab^2. p (p-a)(p-b)(p-c)=ab^2. p (p-a)(p-b)(p-c)=ab^2, S1=S2. Равенство этих формул свойственно любом треугольнику. *\| - Это арифметический квадратный корень.

---

Я уже устал писать. Нужен вывод без перехода к формуле r=S/p. Для этого и был расписан радиус окружности в задании через формулу Герона. Решение неверное.