В задачи требуется доказать, что S₁ / S₂ = 1/2, где S₁ - площадь MNKL , а S₂ - площадь АВСВ
Для начала докажем, что KLMN - параллелограмм:
Проведем диагонали АС и BD четырехугольника АВСD.
Рассмотрим ΔBCD:
по условию N и K - середины сторон BC и CD соответственно, значит
NK-средняя линия ΔBCD - по определению (средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника),
следовательно BD || NK и NK=0.5BD.
Аналогично рассмотрим ΔАBD:
по условию M и L - середины сторон AB и AD соответственно, значит
ML - средняя линия ΔBCD по определению, следовательно
ML || BD и ML=0.5BD
Таким образом, BD || NK и BD || ML, а также NK=0.5BD и ML=0.5BD, следовательно NK || ML и NK=ML (закон транзитивности), значит KLMN - параллелограмм по свойству:" если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник-параллелограмм".
Аналогично можно доказать, что АС || KL и АС || MN
площадь любого четырехугольника находится по формуле:
S=d₁*d₂*sina / 2, где d₁ и d₂ - диагонали, а-угол между ними.
d₁=AC ,d₂=BD, ∠а=∠СOD
площадь параллелограмма можно найти по формуле:
S=а*в*sinα, где а и в - смежные стороны, α-угол между ними.
а=NK, в=KL, ∠α=∠NKL
докажем что ∠a=∠α, то есть ∠СOD=∠NKL
Пусть Р - точка пересечения АС и NK
O-точка пересечения АС и BD
было сказано, что BD || NK и АС || KL, значит ∠СРК=∠COD - как соответственные углы при параллельных прямых BD и NK и секущей АС.
Так же ∠СРК=∠NKL - как накрест лежащие углы при параллельных прямых АС и KL и секущей NK.
Итак, ∠СРК=∠COD и ∠СРК=∠NKL, значит ∠COD=∠NKL (закон транзитивности)
Наконец,
S₁/S₂=а*в*sinα / (d₁*d₂*sina / 2)=2 а*в*sinα / (d₁*d₂*sina )=2NK*KL*sinα / (AC*BD*sinα)= 2*0.5BD*0.5AC*sinα / (AC*BD*sinα)= =2*0.5*0.5=0.5=1/2 -ч.т.д.
