Помогите пожалуйста решить задачу под номером 3.

Question

Помогите пожалуйста решить задачу под номером 3.

---

Answer 1

Пусть нижнее основание - прямоугольник ABCD, верхнее - A1B1C1D1; AB = a; AD = b;
Боковые грани, имеющие общее ребро AA1, наклонены к плоскости ABCD под углами α и β.
Если построить проекцию A1 нижнее основание - точку A2; и из неё провести перпендикуляры к сторонам AB (в точку M на AB) и AD (в точку N на AD); то ∠A1MA2 = α; ∠A1NA2 = β;
Фигура AMA2N имеет три прямых угла, то есть это прямоугольник. Стороны его равны MA2 = h*ctg(α); NA2 = h*ctg(β); тут h = A1A2; - высота призмы (которую надо найти).
Если обозначить ∠A1MA2 = γ; то h = c*sin(γ); и AA2 = h*ctg(γ);
откуда очевидно (ctg(γ))^2 = (ctg(α))^2 + (ctg(β))^2;
Легко отсюда получить sin(γ) = 1/√(1 + (ctg(α))^2 + (ctg(β))^2);
и объем призмы равен
V = a*b*c*sin(γ) = a*b*c/√(1 + (ctg(α))^2 + (ctg(β))^2);

Comments

занудная задача :( а две других еще и устные. Во второй задаче - несколько простых переходов. 1) если сторона 1, то радиус описанной окружности R = 1/√3;(это легче всего запомнить). Радиус вписанной окружности r = R/2 = 1/(2√3); откуда площадь S = √3/4; нашелся косинус угла наклона боковых граней cos(α) = S/Sbok = (√3/4)/3 = 1/(4√3); ну а высота пирамиды h = r*tg(α); и все решение. легко найти tg(α) = √47;