Есть формула для радиуса вписанной окружности в произвольный треугольник: r=S/p. После...

Дан Δ АВС, ∠С=90°.
с - гипотенуза,
a, b - катеты.

Применяем формулы разности квадратов с учетом теоремы Пифагора
(a+b)²-c²=a²+2ab+b²-c²=(a²+b²-c²)+2ab=0+2ab=ab
c²-(a-b)²=c²-a²+2ab-b²=2ab

r=S/p=

$= \sqrt{ \frac{ \frac{b+c-a}{2} \cdot \frac{a+c-b}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} }{ \frac{a+b+c}{2} } } = \\ \\ = \sqrt{ \frac{ \frac{c-(a-b)}{2} \cdot \frac{c+(a-b)}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} }{ \frac{a+b+c}{2} } } =$

$=\sqrt{ \frac{ \frac{c^2-(a-b)^2}{4} \cdot \frac{a+b-c}{2}\cdot (a+b-c) }{ \frac{a+b+c}{2} \cdot (a+b-c)} } = \sqrt{ \frac{ \frac{c^2-a^2+2ab+b^2}{4} \cdot \frac{(a+b-c)^2}{2}}{ \frac{(a+b)^2-c^2}{2}} }= \frac{ab(a+b-c)}{a^2+2ab+b^2-c^2}=\frac{ab(a+b-c)}{2ab}=\frac{a+b-c}{2}$

Эту формулу можно получить если заменить S на (ab/2)

r=S/p=(ab)/((a+b+c))=ab(a+b-c)/((a+b+c)(a+b-c))=

=ab(a+b-c)/((a+b)²-c²)=ab(a+b-c)/(a²+b²+2ab-c²)=(a+b-c)/2.