Помогите доказать тождество

Приведем правую часть к левой по формуле:
$cos( \alpha - \beta )=cos \alpha *cos \beta +sin \alpha *sin \beta$

$cos( \alpha - \frac{ \pi }{4} )=cos \alpha *cos\frac{ \pi }{4}+sin \alpha *sin\frac{ \pi }{4}=cos \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2} +sin \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2}* \sqrt{2}} = \frac{1}{ \sqrt{2}}$
Поэтому:

$cos \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2} +sin \alpha * \frac{ \sqrt{2} }{2}=cos \alpha * \frac{1 }{ \sqrt{2} } +sin \alpha * \frac{1}{ \sqrt{2} }= \\ \\ = \frac{cos \alpha }{ \sqrt{2} }+ \frac{sin \alpha }{ \sqrt{2} }=$
= $\frac{cos \alpha +sin \alpha }{ \sqrt{2} } =\frac{sin \alpha +cos \alpha }{ \sqrt{2} }$ -ч.т.д.