Вычислить интеграл (sin^2) x на промежутке (0;pi/2).

$\int\limits^{ \frac{ \pi}{2} }_0 {sin^2x} \, dx$
Воспользуемся формулой
1-cos2x=2sin²x
sin²x=1/2-(1/2)cos2x
$\int\limits {( \frac{1}{2}- \frac{1}{2}cos2x) } \, dx= \frac{x}{2}- \frac{1}{2} \int\limits{cos2x} \, dx=$
Вводим замену переменной
2x=u, тогда du=2dx ⇒ dx=du/2
$=\frac{x}{2}- \frac{1}{4} \int\limits{cosu}\, du=\frac{x}{2}- \frac{1}{4}sinu=\frac{x}{2}- \frac{1}{4}sin2x+C$

$\int\limits^{ \frac{ \pi}{2} }_0 {sin^2x} \, dx=\frac{x}{2}- \frac{1}{4}sin2x|_0^{ \frac{ \pi }{2}} = \frac{ \pi }{4} - \frac{1}{4}sin \pi -0+0= \frac{ \pi }{4}-0= \frac{ \pi }{4}$

Вычислить интеграл (sin^2) x ** промежутке (0;pi/2).