Помогите решить сложную систему(или хотя бы наведите ** мысль)! 99 балов Система из трех...

Question

Дано ответов: 2

аноним · Answer 1 · 2018-04-26T07:48:52+0000

$\begin{cases} & \text{ } \frac{1}{x}+ \frac{1}{y+z}= \frac{6}{5}|\cdot 5x(y+z) \\ & \text{ } \frac{1}{y}+ \frac{1}{x+z}= \frac{3}{4}|\cdot4y(x+z)\\ &\text{ } \frac{1}{z} + \frac{1}{y+x} = \frac{2}{3}|\cdot3z(y+x) \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } 6xy+6xz-5x-5y-5z=0 \\ & \text{ } 3xy+3yz-4x-4y-4z=0 \\ & \text{ } 2xz+2yz-3x-3y-3z=0 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } (6y+6z-5)x-5y-5z=0 \\ & \text{ } ............ \\ & \text{ } ......... \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x= \frac{5y+5z}{6y+6z-5} \\ & \text{ } ............. \\ & \text{ } ............... \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 3\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5}+3yz-4\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5} -4y-4z=0 \\ & \text{ } 2\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5} +2yz-3\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5} -3y-3x=0 \end{cases}$
Упростив, получаем систему
$\begin{cases} & \text{ } \frac{6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2}{6y+6z-5} =0 \\ & \text{ } \frac{6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2}{6y+6z-5} =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } 6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2=0 \\ & \text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2-6y^2z-6yz^2+9y^2+18yz+4z^2=0 \\ & \text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 6y^2+2yz-4z^2=0 \\ & \text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 \,\,\,\,\,(*)\end{cases}$

Решим первое уравнение
$6y^2+2yz-4z^2=0|:2z^2\\ 3\cdot(\frac{y}{z} )^2+\frac{y}{z}-2=0$
Пусть $\frac{y}{z}=t$ , тогда
$3t^2+t-2=0\\ D=1+24=25\\ t_1=-1\\ t_2= \frac{2}{3}$

Возвращаемся к замене
$y=-z\\ y= \frac{2}{3} z$

Подставим переменные у в уравнение (*)

Если $y=-z$ , тогда
$6z^3-6z^3-9z^2+18z^2-4z^2=0\\ 5z^2=0\\ z=0$

Дальше искать значения $x,y$ нет смысла, т.к. z=0 и если подставить в уравнение, то знаменатель дроби обращается в 0.

Если $y= \frac{2}{3}z$
$8z^3+12z^3-12z^2-48z^2=0\\ 20z^3-60z^2=0\\ 20z^2(z-3)=0\\ z=3\\ x=1\\y=2$

Ответ: $(1;2;3)$