В равнобедренном тупоугольном треугольнике АВС на продолжение боковой стороны ВС опущена высота АН. Из точки Н на сторону АВ и основание АС опущены перпендикуляры НК и НМ соответственно.
а) Докажите, что отрезки АМ и МК равны.
б) Найдите МК, если АВ=5, АС=8
Сделаем чертеж.
АН - высота тупоугольного треугольника, проведенная к боковой стороне, и расположена вне треугольника; угол АНС прямой.
⊿ АНС - прямоугольный, НМ⊥АС, и по свойству высоты прямоугольного треугольника делит его на подобные треугольники АМН и СМН.
∠АНМ=∠ВСА (=∠ВАС, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны)
⊿ АМН и ⊿ АКН прямоугольные и имеют общую гипотенузу АН, следовательно, вокруг них можно описать общую окружность с диаметром АН.
В этой окружности вписанные углы АНМ и АКМ по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, равны. ⇒
∠АКМ=∠АНМ, но ∠АНМ=∠ВСА= ВАС ⇒
∠АКМ=∠КАМ, ∆ АМК равнобедренный, и АМ=КМ, что и требовалось доказать.
--------------
б) Найдите МК, если АВ=5, АС=8
МК=АМ. Найдем длину АМ.
Так как ∆ АВС равнобедренный, высота ВТ в нем и биссектриса и медиана. ⇒
АТ=ТС=8:2=4
В ⊿ ВТС отношение катета ТС и гипотенузы ВС =4:3,⇒ он- египетский, и ВТ=3 ( то же и по т.Пифагора)
sin ∠ВСТ=ВТ:ВС=0,6
АН=АС•sin∠ACH=8•0,6=4,8
Т.к. ∠АНМ=∠ВСА ( доказано из подобия), то
АМ=АН•sin ∠АНМ
АМ=4,8•0,6=2,88
Следовательно, и МК, равный АМ, равен 2,88 (ед. длины)
