Вычислить площадь заключенную между линиями y=2x и y=3x²-x (решение подробно)

1) Найдем точки пересечения двух функций:

$2x=3x^2-x 3x^2-3x=0 3x(x-1)=0 x=0; x=1$

2) построим графики этих функций. Легко увидеть что у=2х лежит выше чем у= 3х²-х

3) Найдем площадь фигуры:

$\int\limits^1_0 {2x-(3x^2-x)} \, dx= \int\limits^1_0 {(2x-3x^2+x)} \, dx= \int\limits^1_0 {(3x-3x^2)} \, dx=$

$=3 \int\limits^1_0 {(x-x^2)} \, dx=3 ( \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{3})|_0^1=$

$=3(( \frac{1}{2}- \frac{1}{3})-( \frac{0}{2}- \frac{0}{3}))= \frac{3}{2}- \frac{3}{3}= \frac{1}{2}$

Площадь фигуры : $\displaystyle \frac{1}{2}$