Составляем расширенную матрицу
1 2 1 | -1
3 -1 1 | -1
-2 2 3 | 5
первый столбец - коэф. х, второй - y, третий - z, справа от вертикальной черты свободный член. Путем преобразований над строками приведем ее к виду x=a, y=b, z=c.
Ко второй строке прибавляем третью
1 2 1 | -1
1 1 4 | 4
-2 2 3 | 5
Из второй строки вычтем первую, к третей строке прибавим 2 первых
1 2 1 | -1
0 -1 3 | 5
0 6 5 | 3
К третьей строке прибавим 6 вторых, вторую умножим на -1
1 2 1 | -1
0 1 -3 | -5
0 0 23 | 33
Сократим третью на 23
1 2 1 | -1
0 1 -3 | -5
0 0 1 | 
Прибавим ко второй строке 3 третьих
1 2 1 | -1
0 1 0 | 
0 0 1 |
Теперь надо из первой строки вычесть две вторых и одну третью,
Получим матрицу с единицами на диагонали, что соответствует решению системы:
x=-24\23, y=-16\23, z=33/23
для проверки подставляем в первое уравнение:
(-24-32+33)\23=-1. все верно!