Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 см, а площадь боковой поверхности -...

Question

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 см, а площадь боковой поверхности - 32 см². Найти объем призмы

Answer 1

D=6см
а-сторона основания,h-высота
d=√(2a²+h²)
Sбок 4ah=32
ah=8
h=8/a
d²=2a²+64/a²=36
2a^4-36a²+64=0
a²=b
b²-18b+32=0
b1=b2=18 U b1*b2=32
b1=2⇒a²=2⇒a=√2 U a=-√2 не удов усл
h1=8/√2=4√2
b2=16⇒a²=16⇒a=4 U a=-4 не удов усл
h2=8/4=2
V=a²h
V1=2*4√2=8√2см³
V2=4²*2=32см³

Answer 2

Площадь боковой поверхности равна: S=4ah, где а - сторона основания, h - высота призмы. h=S/4a=32/4a=8/a.
Диагональ основания по т. Пифагора: d²=D²-h², где D - диагональ призмы. d=a√2, значит 2а²=6²-64/а²,
2а⁴-36а²+64=0,
а²₁=2, 
а²₂=16.
а₁=√2, а₂=4.
h₁=4√2, h₂=2.
Объём призмы: V=Sh=a²h. Задача имеет два решения:
V₁=(√2)²·4√2=8√2 см² 
и 
V₂=4²·2=32 см².