Область допустимых значений
x-2>0 12-x>0
x>2 x<12<br>x∈(2;12)
Далее перейдём к решению исходного логарифмического неравенства. Из свойств логарифма логарифм произведения равен сумме логарифмов преобразуем левую часть неравенства и представим правую часть как логарифм по основанию 1/3
Переходим от неравенства относительно логарифмов к неравенству подлогарифмических функций. Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняется на противоположный
(x-2)(12-x)≤9
12x-x²-24+2x-9≤0
-x²+14x-33≤0
Приравняем к 0 и решим квадратное уравнение
-x²+14x-33=0
D=14²-4*(-1)*(-33)=196-132=64
x₁=(-14-8)/-2=11 x₂=(-14+8)/-2=3
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах
- + -
-------------------------3--------------------------------11-----------------------
С учётом ОДЗ получаем интервалы x∈(2;3]∪[11;12)
d) log₂(x²+2x)<3<br>ОДЗ:
x²+2x>0
x(x+2)>0
x>0 x<-2<br>x∈(-∞;-2)∪(0;∞)
log₂(x²+2x)Так как основание логарифма больше 1(2>1) знак неравенства не меняется.
x²+2x<8<br>x²+2x-8<0<br>x²+2x-8=0
D=2²-4*(-8)=4+32=36
x₁=(-2-6)/2=-4 x₂=(-2+6)/2=2
+ - +
--------------------(-4)-------------------------------2----------------------
С учётом ОДЗ получим x∈(-4;-2)∪(0;2)
e) lg(x-2)+lg(1-x)>1
lg((x-2)(1-x))>1
ОДЗ:
(x-2)(1-x)>0
x-2>0 1-x>0
x>2 x<1<br>При любом значении х подлогарифмическое выражение будет отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений.
f)
ОДЗ:
2x-6>0 2x-1>0
2x>6 2x>1
x>3 x>1/2
x<3 x<1/2<br>x∈(-∞;1/2)∪(3;∞)
2x<1<br>x<1/2<br>x∈(-∞;1/2)
g)
ОДЗ:
Подкоренное выражение всегда больше 0, поэтому
2x-1>0
2x>1
x>1/2
Чтобы выполнилось неравенство необходимо чтобы и числитель был больше 0, поэтому
x<4<br>С учётом ОДЗ x∈(0,5;4)