При каком значении а уравнение имеет одно решение: х²-а²/(х+1)(х+2)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для начала напишем ОДЗ:
х+1≠0 и х+2≠0, значит
х≠-1 и х≠-2
$\frac{ x^{2} - a^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\ \\ \frac{ (x-a)(x+a) }{(x+1)(x+2)} =0 \\ (x-a)(x+a)=0 \\ 1)x-a=0 \\ x=a \\ 2)x+a=0 \\ x=-a$
данное уравнение может иметь два корня
ОДИН корень уравнение имеет в следующих случаях:
1 случай
а=-а
2а=0
а=0
2 случай
один из корней числителя равен одному из корней знаменателя:
х+а=х+1
а=1
3 случай
х+а=х+2
а=2
4 случай
х-а=х+1
а=-1
5 случай
х-а=х+2
а=-2
при всех данных а уравнение имеет 1 корень.
Отв:а=0; а=1; а=-1; а=2; а=-2

В этом можно убедиться:
1)пусть а=0, тогда
$\frac{ x^{2} - 0^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\$
x²=0
x=0 -1 корень
2) пусть а=1, тогда
$\frac{ x^{2} - 1^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-1)(x+1) }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-1) }{(x+2)} =0$
x-1=0
x=1 - 1 корень
3) пусть а=-1, тогда
$\frac{ x^{2} - (-1)^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\ \frac{ x^{2} - 1^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-1)(x+1) }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-1) }{(x+2)} =0$
x-1=0
x=1 - 1 корень
4) а=2
$\frac{ x^{2} - 2^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-2)(x+2) }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-2) }{(x+1)} =0$
х-2=0
х=2 - 1 корень
5) а=-2
$\frac{ x^{2} - (-2)^{2} }{(x+1)(x+2)} =0\\ \frac{ x^{2} - 2^{2} }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-2)(x+2) }{(x+1)(x+2)} =0 \\\frac{ (x-2) }{(x+1)} =0$
х-2=0
х=2 - 1 корень

Alexandr130398_zn (25.8k баллов) 29 Апр, 18