15cos^2(2x)+7cos(2x)-21sin(x)+9sin^2(x)+14sin^2(2x)-6sin(x)cos(2x)-8=0

Question

15cos^2(2x)+7cos(2x)-21sin(x)+9sin^2(x)+14sin^2(2x)-6sin(x)cos(2x)-8=0

Comments

Как вариант, можно действовать в лоб: заменить sin(x)=t. Получится 4*t^4+12*t^3-9*t^2-27*t+14=(2*t-1)*(t+2)*(2*t^2+3*t-7)=0. Откуда sin(x)=1/2. Остальные t по модулю больше 1.

---

Не понял почему перед 9 стоит знак "-". И как преобразовать 14sin^2(2x)?

---

Сейчас, я напишу более простое решение.

---

Всё, разобрался, спасибо

Answer 1

Запишем это дело так.
(15cos²(2x)+14sin²(2x)-8)-6sin(x)cos(2x)+9sin²(x)+7(cos(2x)-3sin(x))=0
Применяя cos²(2x)+sin²(2x)=1, получим
6+cos²(2x)-6sin(x)cos(2x)+9sin²(x)+7(cos(2x)-3sin(x))=0
(cos(2x)-3sin(x))²+7(cos(2x)-3sin(x))+6=0
Делаем замену cos(2x)-3sin(x)=t, получаем t²+7t+6=0, t₁=-6, t₂=-1.
1) cos(2x)-3sin(x)=-6 очевидно не имеет решений, т.к. синус и косинус по модулю не превосходят 1.
2) cos(2x)-3sin(x)=-1
   1-2sin²x-3sin(x)=-1
   2sin²x+3sin(x)-2=0
   sin(x)=1/2,   sin(x)=-2. Ответ: x=Pi/6+2pi*k и 5Pi/6+2Pi*k.