Помогите с логарифмичемким нравенством. если можно фоткой

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Неравенство страшно только на вид.
Спасает то, что у обоих логарифмов основание одинаковое.
1) Найдем сначала область определения.
Основание логарифма должно быть положительно и не = 1.
Число под логарифмом должно быть положительно.
Знаменатель дроби не должен равняться 0
{ $2^{(x+1)^2}-1\ \textgreater \ 0$
{ $2^{(x+1)^2}-1 \neq 1$
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 > 0
{ $log_{(2^{(x+1)^2}-1)} (x^2 + 6x + 10) \neq 0$
{ $log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x)\ \textgreater \ 0$
Выделим отдельно три неравенства
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 + 6x + 10 > 0
Они все три выполняются при любом х, поэтому их можно убрать.
{ $2^{(x+1)^2}\ \textgreater \ 1$
{ $2^{(x+1)^2} \neq 2$
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 =/= 1
{ $log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x)\ \textgreater \ 0$

В 1-ом неравенстве показатель (x+1)^2 > 0 при любом x =/= -1,
поэтому $2^{(x+1)^2}\ \textgreater \ 1$ при любом x =/= -1.
Во 2-ом неравенстве (x+1)^2 =/= 1, то есть x+1 =/= -1 и x+1 =/= 1,
отсюда x =/= -2 и x =/= 0.
Решение 3-го неравенства x < 0 U x > 2
4-ое неравенство можно переписать так:
x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1 =/= 1
Его решение: x =/= -3
В итоге получаем решение первых 4 неравенств:
x ∈ (-oo; -3) U (-3; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (2; +oo)

Теперь решаем 5-ое неравенство
$log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x)\ \textgreater \ 0$
Основание логарифма 2x^2+2x+3 > 1 при любом х, поэтому
x^2 - 2x > 1
x^2 - 2x - 1 > 0
D = 4 - 4(-1) = 8
x1 = (2 - √8)/2 = 1 - √2 ≈ -0,414
x2 = (2 + √8)/2 = 1 + √2 ≈ 2,414
x ∈ (-oo; 1-√2) U (1+√2; +oo)
С учетом первых трех неравенств получаем Область Определения:
x ∈ (-oo; -2) U (-2; -1) U (-1; 1-√2) U (1+√2; +oo)

2) Теперь решаем само неравенство.
Обозначим условно основание $2^{(x+1)^2-1}=c$
$\frac{log_c(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))}{log_c(x^2 + 6x + 10)} \geq 0$
У логарифмов есть интересное свойство:
$\frac{log_c(a)}{log_c(b)} =log_b(a)$
Поэтому наше неравенство можно переписать так:
$log_{(x^2 + 6x + 10)}(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))} \geq 0$
То есть логарифм от логарифма. Основание внешнего логарифма
x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1 >= 1 при любом x, поэтому
график внешнего логарифма - возрастающий, то есть
$log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x) \geq 1$
Но это основание тоже
2x^2 + 2x + 3 > 1 при любом х, поэтому график тоже возрастающий.
x^2 - 2x >= 2x^2 + 2x + 3
Отсюда
x^2 + 4x + 3 <= 0<br>(x + 3)(x + 1) <= 0<br>x ∈ [-3; -1]
С учетом Области Определения
x ∈ (-3; -2) U (-2; -1)

mefody66_zn (320k баллов) 29 Апр, 18