Итак,вот сама задача. Заступорился сильно |α+β|= |α-β| Доказать,что векторы α и...

Question 1

Итак,вот сама задача. Заступорился сильно
|α+β|= |α-β|
Доказать,что векторы α и β-перпендикулярны

Question 2

Можно проще: Если выпустить векторы из одной точки, то по правилу сложения векторов a+b и a-b - диагонали параллелограмма со сторонами а и b. По условию эти диагонали равны, а параллелограмм, у которого диагонали равны является прямоугольником, значит векторы а и b перпендикулярны.

Question 3

Да, это красиво!

Question 4

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Рассмотрим задачу на плоскости (в пространстве просто добавится третья координата).
Решение будем проводить в координатах.
$\left(\vec \alpha,\vec \beta\right)=0 \to \alpha_x\cdot\beta_x+\alpha_y\cdot\beta_y=0 \\ |\alpha+\beta|=\left|\sqrt{(\alpha_x+\beta_x)^2+(\alpha_y+\beta_y)^2}\right|; \\ |\alpha-\beta|=\left|\sqrt{(\alpha_x-\beta_x)^2+(\alpha_y-\beta_y)^2}\right|$
Возводим обе части последних уравнений в квадрат, заодно избавляясь и от модулей.
$|\alpha+\beta|^2=(\alpha_x+\beta_x)^2+(\alpha_y+\beta_y)^2; \\ |\alpha-\beta|^2=(\alpha_x-\beta_x)^2+(\alpha_y-\beta_y)^2; \\ (\alpha_x+\beta_x)^2+(\alpha_y+\beta_y)^2=(\alpha_x-\beta_x)^2+(\alpha_y-\beta_y)^2 \\ 2\alpha_x\beta_x+2\alpha_y\beta_y=-2\alpha_x\beta_x-2\alpha_y\beta_y \\ 4(\alpha_x\beta_x+\alpha_y\beta_y)=0 \\ \alpha_x\beta_x+\alpha_y\beta_y=0$
Что и требовалось доказать.

Question 5

Еще можно рассмотреть разность и сумму векторов в геометрической интерпретации. Получится треугольник и нужно будет доказать, что он прямоугольный. Но там появляется теорема косинусов и вывод длиннее (похож на решение, приведенное vitmaro)

Question 6

Ответ смотри на фото