Сформулированы следующие два утверждения: а) уравнение ax - sqrt(x) + 1 = 0 имеет ровно...

Question

Сформулированы следующие два утверждения:

а) уравнение ax - sqrt(x) + 1 = 0 имеет ровно одно решение

б) неравенство x^2 - 8ax + 1 <= 0 имеет хотя бы одно решение</p>

Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы

Answer 1

а) .

Это квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю, т.е.

б)

Это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант неотрицателен, т.е. . Это неравенство справедливо при 

Answer 2

а) Рассмотрим уравнение  (a=0 подходит тогда х=1)сделаем замену переменных {0}" alt="t=\sqrt{x}>{0}" align="absmiddle" class="latex-formula">. Получим уравнение 

(здесь )Данное квадратное уравнение имеет 1 корень, если дискриминант D=0. Однако, если уравнение имеет 2 решения, причем разного знака, то нам подходит только одно положительное. Следовательно, в этом случае исходное уравнение будет иметь тоже 1 корень. Поэтому рассматриваем случай, когда

Тогда 

Далее пусть меньший корень будет < 0, а больший >0.

Необходимо рассмотреть 3 случая:

1)  

 

Тогда D>1, следовательно a<0. Получаем нет решений.</p>

2)  

Тогда -1" alt="\sqrt{D}>-1" align="absmiddle" class="latex-formula"> всегда выполняется.

0" alt="x_1>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> Тогда  D>1, следовательно a<0.</p>

3)  

0" alt="t=2>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> 

Таким образом и 

б) неравенство будет иметь хотя бы один решение, если . Отсюда получаем a из