В треугольникеABC угол A=90°, угол B равен 30°, AB=6. Найдите площадь треугольника.

Question

В треугольникеABC угол A=90°, угол B равен 30°, AB=6. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

ΔАВС ,  ∠А=90° , ∠В=30°  , АВ=6
АС/АВ=tg30°
AC=AB*tg30°=6*(√3/3)=2√3
S(ABC)=0,5*AB*AC=0,5*6*2√3=6√3

Answer 2

Треугольник АВС  - прямоугольный  (уг. А=90°):
АВ и АС  - катеты 
ВС  - гипотенуза
уг. С= 90 - 30 = 60°
Катет лежащий  против угла в 30 ° равен половине гипотенузы :
АС = ВС /2   ⇒   ВС = 2 АС
Пусть АС = х 
Теорема Пифагора:
(2х)² = 6² + х² 
4х²  - х²= 36 
3х²=36
х²= 36/3 
х²=12
х=√12= 2√3
х₁= -2√3 - не удовл.
х₂= 2√3  ⇒  АС = 2√3  ; ВС= 2*2√3= 4√3
По формуле Герона:
S= √ (р (р-АВ)(р-ВС) (р-АС))
р= (6+2√3+4√3)/2 = (6+6√3)/2 = 3+3√3
S= √ ((3+3√3) ( 3+3√3-6) (3+3√3-4√3)(3+3√3-2√3) )=
= √ ((3+3√3) (-3+3√3) (3-√3)(3+√3) )=
= √ ( ((3√3)² - 3²) (3²- (√3)²) )=
= √ (27-9)(9-3) = √(18*6) = √(3*6*6)= 6√3

Ответ: S= 6√3